Sapienza Università di Roma
Dipartimento di Filosofia
Dipartimento di Matematica
Dipartimento di Fisica
Stage 2012-13
Matematica, fisica ed economia
Incontro finale
Programma
Villa Mirafiori
Via Carlo Fea, 2
00161 Roma
Aula X
10:30 - 10:40 Apertura
10:40 - 11:05 Carlo Cellucci (Filosofia - Sapienza), “Applicabilità ed efficacia della matematica nel mondo fisico”;
11:05 - 11:30 Angelo Vulpiani (Fisica - Sapienza ), "Probabilità e determinismo";
11:30 - 11:55 Sergio Caprara (Fisica - Sapienza), "Le armonie del mondo";
12:10 - 13:10 Dibattito (Gruppo 1 - Gruppo 2 - Grupp3)
13:10 - 13:30 Votazione e Assegnazione del Premio
Carlo Cellucci
“Applicabilità ed efficacia della matematica nel mondo fisico”
Partirò dalla soluzione di Platone e Dirac, secondo cui la matematica è efficace perché il mondo è matematico essendo stato modellato da un Dio mediante la matematica. Benedetto XVI ha fatto uso di questa soluzione per dimostrare l’esistenza di Dio. Dirò che sia l’argomento di Platone e Dirac che quello di Benedetto XVI sono petizioni di principio.
In alternativa dirò che per spiegare l’efficacia della matematica occorre distinguere tra matematica naturale e matematica artificiale.
Mentre la spiegazione dell’efficacia della matematica naturale è chiara, quella dell’efficacia della matematica artificiale è più complessa.
A tale riguardo cercherò di mostrare che le spiegazioni date da Field, Resnik, Steiner e Tegmark sono insoddisfacenti, e che una spiegazione più soddisfacente presuppone i cinque punti seguenti.
1) La matematica artificiale non può trattare tutte le proprietà del mondo, ma solo quelle di carattere matematico.
2) La matematica artificiale non può trattare tutte le proprietà del mondo di carattere matematico, ma solo le più semplici tra esse.
3) Solo una parte della matematica artificiale può trattare proprietà del mondo di carattere matematico.
4) Attraverso la matematica artificiale noi non trattiamo direttamente il mondo, ma solo le nostre concettualizzazioni del mondo.
5) La matematica artificiale è efficace nel trattare il mondo quando, tra i modelli matematici che l'evoluzione culturale ci ha reso disponibili, ne troviamo uno che si approssima sufficientemente alle nostre concettualizzazioni del mondo.
Sulla base di questi cinque punti argomenterò che l’efficacia della matematica artificiale ha due spiegazioni, una spiegazione immediata e una spiegazione ultima. La spiegazione immediata sta nella restrizione di Galileo della fisica allo studio di proprietà fenomeniche del mondo che possono essere pensate e viste in termini matematici. La spiegazione ultima sta nel fatto che, come risultato dell’evoluzione biologica e culturale, noi, da un lato, siamo in grado di concettualizzare regolarità nei dati osservativi, e, dall’altro lato, siamo in grado di formulare modelli matematici alcuni dei quali sono approssimazioni sufficienti alle nostre concettualizzazioni delle regolarità nei dati osservativi.
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Angelo Vulpiani
"Probabilità e determinismo"
Se osserviamo il mondo che ci circonda notiamo che esistono fenomeni regolari e prevedibili, ad esempio il susseguirsi del giorno e della notte, l' alternanza delle stagioni e le eclissi sono calcolate dagli astronomi con grande anticipo e precisione.
Per descrivere queste situazioni si usano leggi deterministiche, il cui prototipo `e costituito dalle equazioni differenziali alla base della meccanica di Newton e di gran parte della fisica classica.
Ci sono pero` anche fenomeni che non sembrano affatto seguire leggi precise come quelle che valgono per le eclissi o i corpi che cadono.
Quando abbiamo a che fare con giochi come i dadi, la roulette, il lotto, l' andamento della borsa e cosi` via, invece parlare di leggi usiamo termini come caso ed aleatorieta` e la descrizione matematica si basa sulla teoria della probabilita`.
Ovviamente non e` del tutto soddisfacente assumere che esistono due tipi di situazioni completamente diverse: quelle regolate da leggi deterministiche, e quelle che seguono leggi aleatorie.
Si potrebbe infatti notare che i dadi e le palline delle roulette obbediscono alle leggi della meccanica di Newton, proprio come i sassi che cadono ed i corpi celesti.
E` possibile superare questa dicotomia apparentemente inconciliabile?
Vedremo come in presenza di caos, in cui piccole differenze dello stato del sistema al tempo iniziali vengono amplificate in modo esponenziale (il famoso, e spesso citato a sproposito, effetto farfalla) e` possibile introdurre in modo coerente (e non soggettivo) concetti probabilistici anche in sistemi deterministici. E` interessante notare che per quanto riguarda la certezza questa non e` affatto esclusiva delle teorie deterministiche.
I teoremi limite (primo fra tutti la legge dei grandi numeri) mostrano che, in un sistema con un grande numero di componenti, si puo' avere un determinismo probabilistico.
Questo e` stato ben riassunto da B.V. Gnedenko e A.N. Kolmogorov:
"Tutto il valore epistemologico della teoria delle probabilita` e` basato su questo: i fenomeni aleatori, considerati nella loro azione collettiva a grande scala, generano una regolarita` non aleatoria"
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Sergio Caprara
"LE ARMONIE DEL MONDO. La ricerca della regolarità nei fenomeni naturali"
Proporrò un percorso della Storia della Fisica che prende le mosse dalla concezione della Scuola Pitagorica (costituitasi a Crotone intorno al 530 a.C.) che il Mondo sia razionale e che la Leggi della Natura siano descritte da relazioni matematiche. Un esempio della struttura razionale dei fenomeni naturali era, secondo i pitagorici, la consonanza (o dissonanza) dei suoni prodotti dal monocordo. Si osserva infatti che, dividendo la corda in due parti di lunghezza L1 e L2, i suoni prodotti dalle due parti sono armonici (consonanti) se il rapporto L1/L2 è un numero razionale semplice (3/2, 5/4 …).
La concezione pitagorica della struttura razionale del Mondo e la teoria degli Armonici hanno avuto un'influenza molto forte sul pensiero scientifico occidentale e la ricerca delle regolarità e delle armonie nei fenomeni fisici ha contraddistinto l’opera dei più grandi scienziati di tutti i tempi. Platone, Aristotele, Copernico, Galileo, Keplero (suo è il trattato Harmonices Mundi, del 1619), Newton, per citarne alcuni, hanno delineato e progressivamente circoscritto i metodi e gli strumenti per descrivere i fenomeni naturali ed individuare le leggi alle quali essi obbediscono.
Vissuto a cavallo tra il XVII e il XIX secolo, il fisico e matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier ha introdotto gli strumenti matematici che permettono di analizzare i fenomeni fisici periodici in termini di armoniche. Originariamente applicati a fenomeni quali la propagazione delle onde e la diffusione del calore, questi strumenti permettono di analizzare in termini di armoniche anche i fenomeni descritti dalle leggi della meccanica quantistica.
